如何相似对角化？如何判断一个矩阵是否可以相似对角化

一、如何判断一个矩阵是否可以相似对角化

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。

此外，实对称矩阵一定可对角化。

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。

参考资料来源：百度百科——对角化

二、如何将实对称矩阵相似对角化

1、实对称矩阵相似对角化的方法如下：

2、设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。

3、证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A的一个特征向量（α是列向量）。

4、（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。

5、显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量。

6、又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是（Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α=シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0

7、（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵。

8、所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化。

三、怎样判断一个方阵相似对角可以相似对角化

1、判断方阵是否可相似对角化的条件：

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。

有n个不同的特征值，则A可对角化。因为复数域上的n次多项式恰有n个根，所以我们还有下面的推论。

2、如果A的特征多项式在复数域上的根互不相等，那么A作为复数域上的矩阵一定可以对角化。

的所有互不相同的特征值，各特征子空间

那么上述特征向量组线性无关，从而特征子空间的和是直和。

四、相似对角化和对角化的区别

1、相似对角化是指设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

2、精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。

3、精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。

4、参考资料来源：百度百科-精确对角化法

五、【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化

1、1°先看是不是实对称矩阵，如果是可以对角化，如果不是看第二步

2、2°算矩阵的特征值，如果特征值都不同，则可以对角化，若特征值有重根再看第三步

3、3°算有重根的特征值对应的特征多项式的秩，如果秩等于矩阵的阶数减去重数，也就是这个公式r(λiE-A)＝n-ni，相等则可对角化，不等则可以判断该矩阵不能对角化

4、按上面三步一定可以判断出，也是做题最节约时间的步奏

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